Объединение множеств

Объединение A и B

Объедине́ние мно́жеств (тж. су́мма или соедине́ние) в теории множеств — множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение двух множеств [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] обычно обозначается [math]\displaystyle{ A }[/math] ∪ [math]\displaystyle{ B }[/math], но иногда можно встретить запись в виде суммы [math]\displaystyle{ A + B }[/math].

Определения

Объединение двух множеств

Пусть даны два множества [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math]. Тогда их объединением называется множество

[math]\displaystyle{ A \cup B = \{ x \mid x\in A \vee x\in B\}. }[/math]

Объединение семейства множеств

Пусть дано семейство множеств [math]\displaystyle{ \{M_{\alpha}\}_{\alpha \in A}. }[/math] Тогда его объединением называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства:

[math]\displaystyle{ \bigcup\limits_{\alpha \in A} M_{\alpha} = \{x \mid \exists \alpha \in A,\; x \in M_{\alpha}\}. }[/math]

Свойства

• Объединение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане [math]\displaystyle{ 2^X; }[/math]
• Операция объединения множеств коммутативна:

  [math]\displaystyle{ A \cup B = B \cup A; }[/math]

• Операция объединения множеств ассоциативна:

  [math]\displaystyle{ (A\cup B) \cup C = A \cup (B \cup C); }[/math]

• Операция объединения множеств дистрибутивна относительно операции пересечения:

  [math]\displaystyle{ \left( \bigcap_k A_k \right) \cup B = \bigcap_k \left( A_k \cup B\right) }[/math]

• Пустое множество [math]\displaystyle{ X }[/math] является нейтральным элементом операции объединения множеств:

  [math]\displaystyle{ A\cup \emptyset = A; }[/math]

• Таким образом булеан вместе с операцией объединения множеств является моноидом;
• Операция объединения множеств идемпотентна:

  [math]\displaystyle{ A \cup A = A. }[/math]

Примеры

• Пусть [math]\displaystyle{ A = \{1,2,3,4,5\},B=\{3,4,5,6,7,8\}. }[/math] Тогда

[math]\displaystyle{ A \cup B = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}; }[/math]

• [math]\displaystyle{ \bigcup\limits_{n \in \mathbb{Z}} [n, n+1] = \mathbb{R}. }[/math]

См. также

• Дизъюнктное объединение
• Операции над множествами